行测数量关系考试，利润问题中的最大值问题是一个重要考点。这类问题通常要求考生求出最大利润或最大售价等，解题通常涉及二次函数的极值求解或利用公式直接计算。闪能公考将详细介绍如何解答这类题目。

一、利润问题中的基本概念

利润问题主要涉及以下基本概念：

利润：利润 = 售价 - 成本。

利润率：利润率 = 利润/成本×100%。

售价：售价 = 成本 × (1 + 利润率)。

成本：成本 = 售价/(1+利润率)

二、建立数学模型

1. 设定变量

设定变量是解题的第一步。常见的变量包括：

x：表示销售量或售价的变化量。

P(x)：表示总利润，是关于 x 的函数。

2. 建立函数模型

根据题目中的条件，建立总利润与变量之间的函数关系。例如，假设某商品的成本为 C，初始售价为 P0，销售量为 Q0，市场调研发现每降价 1 元，销售量增加 m 件。总利润可以表示为：P(x)=(P0−x−C)×(Q0+mx)。

3. 化简函数

将上述函数展开并化简，通常会得到一个二次函数的形式：P(x)=ax²+bx+c。

三、求解最大值

1. 确定函数类型

确认建立的函数是否为二次函数。二次函数的一般形式为 P(x)=ax²+bx+c。如果 a<0，函数开口向下，存在最大值。

2. 求顶点

对于二次函数 P(x)=ax²+bx+c，其顶点处取得最大值。顶点的横坐标为：x=−(b/2a)。

3. 计算最大值

将 x 代入函数，计算出最大利润：Pmax=P(−b/2a)。

四、应用实例

例题1：汽车坐垫加工厂问题

某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是 144 元，售价是 200 元。一个经销商订购了 120 套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低 2 元，就多订购 6 套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：

解析：由于经销商提出售价下降和销量增加之间有联系，设售价降低2x元，则销量增加6x件，此时的售价为：200-2x;销量为120+6x。题目中求的是获得最大利润时销售的套数，此时的利润=单间的利润×销量。因此总利润为：(200-2x-144)×(120+6x)=(56-2x)×(120+6x)。

这个列示展开后是一个二次函数，是开口向下的抛物线。题目求解的是这个列式取得最大值时产品的销量，既120+6x的值。根据数学上的知识这个列式在顶点处取得最大值，当它取最大值时x=(x1+x2)÷2。x1、x2为列示等于0时的值。

因此让56-2x=0，x1=28;120+6x=0，x2=-20。则x=(x1+x2)÷2=(28-20)÷2=4，代入120+6x=120+6×4=144

例题2：音响销售问题

某商店以 400 元的价格购进一批音响，按 480 元的定价售出，每天可售出 8 台。若每降价 10 元，每天能多售出 4 台。问商店一天能取得的最大利润为多少？

1. 设定变量：设降价10x 元，则能多销售 4x 台。此时的售价为 480−10x，销量为 8+4x。

2. 建立函数模型：一天的利润为 (480−10x−400)×(8+4x)。

3. 化简函数：展开并化简得到 P(x)=−40x²+240x+640

4. 确定函数类型：这是一个二次函数，且二次项系数为 -40 < 0，开口向下，存在最大值。

5. 求顶点：横坐标x=−(240/2×(−40))=3

6. 计算最大值：代入x=3 得最大利润 (80−30)×(8+12)=1000 元。

五、注意事项

1. 检查函数开口方向

在求解最大值时，必须确保二次函数开口向下（即 a<0）。如果开口向上（a>0），则函数没有最大值，只有最小值。

2. 考虑实际意义

求出的 x 值必须符合实际问题的要求。例如，在上述例子中，x 不能超过初始售价，也不能导致销售量为负。

3. 多变量问题

在更复杂的问题中，可能存在多个变量。此时，可能需要使用多元微积分的方法来求解最大值。

利润问题中的最大值求解是行测数量关系中的重要考点。通过建立二次函数模型并求解其顶点，可以快速准确地找到最大利润。