行测数量关系考试，极值问题是一个常考的考点。而均值不等式作为一种重要的数学工具，在求解极值问题中有着广泛的应用。本文闪能公考详细介绍如何通过使用均值不等式来求解行测数量关系中的极值问题。

一、均值不等式的基本概念

均值不等式是数学中的一个重要公式，它揭示了几个非负实数的算术平均数、几何平均数等之间的关系。其基本形式为：对于非负实数 a₁、a₂、…、aₙ，有 ≥ ，当且仅当 a₁ = a₂ = … = aₙ时，等号成立。

在行测考试中，最常用的是两个数的均值不等式，即对于非负实数 a 和 b，有 ≥ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。此外，由均值不等式可以得出以下两个推论：

1. 当正实数 a、b 的和为定值时，当且仅当 a = b 时，a 与 b 的乘积可取到最大值。

2. 当正实数 a、b 的乘积为定值时，当且仅当 a = b 时，a 与 b 的和可取到最小值。

二、均值不等式的使用条件

1. 一正：参与运算的各个数必须都是正数。如果题目中的变量不满足非负的条件，那么就不能直接使用均值不等式来求解最值。

2. 二定：是指两个数的和或者积为定值。如果两个数的和为定值，那么它们的积有最大值；如果两个数的积为定值，那么它们的和有最小值。

3. 三相等：当且仅当各个数相等时，才能取得相应的最值。在解题时，必须验证是否满足等号成立的条件，如果不能取到等号，那么最值只能接近于由均值不等式计算出的结果。

三、均值不等式在行测数量关系中的应用

1. 在利润问题中的应用

利润问题是行测数量关系中的常见题型，而均值不等式可以帮助我们快速地找到最大利润。例如，某商品的进货单价为 80 元，销售单价为 100 元，每天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低多少元？

解析：设应降低 x 元，总利润为 y 元，则降低后的销售单价为（100 - x）元，销量为（120 + 20x）件，进货单价为 80 元，则总利润 y =（100 - x - 80）×（120+ 20x）。我们可以将其化简为 y = 2×（20 - x）×（60 + 10x）。根据均值不等式，当且仅当（20 - x）=（60 + 10x）时，乘积取得最大值，解得 x = 5。此时，y 的最大值为 2×（20 - 5）×（60 + 10×5）= 2×15×110 = 3300 元。但此时需要验证是否满足等号成立的条件，即（20 - x）和（60 + 10x）是否相等，当 x = 5 时，（20 - x）=15，（60 + 10x）= 110，两者不相等，所以等号不成立，此时只能通过求导或其他方法来找到最大值。不过，这个例子也说明了均值不等式在利润问题中的应用思路，即使在不能完全满足等号成立条件的情况下，也可以帮助我们快速地找到一个大致的范围，从而缩小解题范围。

2. 在几何问题中的应用

几何问题中，尤其是涉及到面积、体积等极值问题时，均值不等式也大有可为。例如，老王打算用一段长为 36 米的篱笆围靠墙围出一个矩形的菜园，问这个矩形的长为多少米时，菜园面积最大？

解析：设矩形的长和宽分别为 x 米和 y 米，根据题意，篱笆总长为 36 米，所以有 2x + y = 36。矩形的面积为 S = x × y。我们可以将 y 表示为 y =36 - 2x，代入面积公式得 S = x ×（36 - 2x）= -2x² + 36x。这是一个二次函数，可以用均值不等式来求解最大值。将 S 表示为 x ×（36 - 2x）= x × 2 ×（18 - x）= 2x（18 - x）。根据均值不等式，当且仅当 x = 18 - x 时，乘积取得最大值，解得 x = 9。此时，y = 36 - 2×9 = 18 米，面积的最大值为 9×18 = 162 平方米。不过，这里需要注意的是，题目中是靠墙围出一个矩形的菜园，所以只需要三面围篱笆，即两个长边和一个宽边，或者两个宽边和一个长边。在本题中，我们假设长边靠墙，则篱笆的长度为 2x + y = 36，其中 x 为宽，y 为长。但是，在应用均值不等式求解时，我们并没有考虑这一点，而是直接将问题转化为两个变量的乘积最大值问题。实际上，这种情况下，当 x = 9 米，y = 18 米时，矩形的长边靠墙，符合题目的实际条件，所以答案是正确的。

3. 在其他极值问题中的应用

除了利润问题和几何问题，均值不等式还可以应用于其他一些极值问题。例如，某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部住满，当每个房间的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，问房价为多少元时宾馆利润最大？

解析：总收入最多则利润最大，所以需要求出总收入的最大值。设房价增加了 x个 10 元，总收入为 y 元，则 y =（180 + 10x）×（50- x）。我们可以将其变形为 y = 10×（18 + x）×（50 - x）。根据均值不等式，当且仅当（18 + x）=（50 - x）时，乘积取得最大值，解得 x = 16。此时，每个房间的价格为 180 + 10×16 = 340 元，宾馆利润最大。

均值不等式在行测数量关系考试中具有重要的应用价值，它能够帮助我们快速、准确地求解极值问题。在使用均值不等式时，要牢记其使用条件，即一正、二定、三相等，只有满足这些条件时，才能确保求解的正确性。通过对利润问题、几何问题以及其他极值问题的分析，我们看到均值不等式能够将复杂的数学问题转化为简单的代数运算，大大提高了解题效率。