行测考试，排列组合题型是数量关系部分的重点和难点之一。错位重排作为一种特殊的排列组合问题，虽然出现频率不高，但一旦出现，往往让考生感到棘手。今天，闪能公考就来探讨如何巧妙解答错位重排问题。

一、错位重排的概念

错位重排问题通常描述为：有n个元素和n个位置，每个元素都有其对应的位置，要求所有元素都不能放在其对应的位置上，问有多少种不同的排列方式。这类问题的核心在于“错位”，即每个元素都不能出现在其原本的位置。

二、错位重排的递推公式

对于错位重排问题，有一个经典的递推公式来计算其排列数，记作D(n)。递推公式如下：

D(n) = (n - 1) ×[D(n - 1) + D(n - 2)]

其中，D(1) = 0，D(2) =1。

这个公式的推导基于对第n个元素的放置位置进行分析。假设我们有n个元素和n个位置，对于第n个元素，它不能放在第n个位置上，因此它有(n - 1)种选择。假设第n个元素放在了第k个位置上，那么第k个元素有两种情况：一种是第k个元素放在第n个位置上，此时剩下的n- 2个元素需要进行错位重排，即D(n - 2)；另一种是第k个元素不放在第n个位置上，此时剩下的n - 1个元素需要进行错位重排，即D(n - 1)。因此，总的排列数为(n - 1) × [D(n - 1) + D(n - 2)]。

三、错位重排的解题步骤

1. 明确问题是否为错位重排

在解答排列组合题型时，首先要判断题目是否属于错位重排问题。通常，题目中会明确指出每个元素都有其对应的位置，并且要求所有元素都不能放在其对应的位置上。

2. 运用递推公式计算

一旦确定是错位重排问题，就可以直接使用递推公式D(n) = (n - 1) × [D(n - 1) + D(n - 2)]来计算答案。根据题目给出的n值，逐步递推计算出D(n)。

3. 结合排列组合知识综合解题

在一些复杂的排列组合题型中，错位重排可能只是其中的一部分。此时，需要结合排列组合的其他知识，如排列数、组合数、乘法原理、加法原理等，进行综合分析和计算。

四、错位重排的例题精讲

例1：基本错位重排问题

有4封信和4个对应的信封，要求每封信都不能装在对应的信封里，问有多少种不同的装法？

解析：这是一个典型的错位重排问题，n=4。根据递推公式：

D(1)=0，D(2)=1

D(3)=(3-1)×[D(2)+D(1)]=2×[1+0]=2

D(4)=(4-1)×[D(3)+D(2)]=3×[2+1]=9

因此，有9种不同的装法。

例2：错位重排与排列组合的综合应用

有5个人和5个不同的座位，他们随机就座。求恰好有2个人坐在自己原来的位置上的概率是多少？

解析：这个问题可以分为两步来解决。首先，计算总的排列数，即5个人在5个座位上的全排列数，为5! = 120。其次，计算恰好有2个人坐在自己原来的位置上的排列数。这需要先选出这2个人，有C(5,2)=10种选法。剩下的3个人必须都不坐在自己原来的位置上，这是一个错位重排问题，n=3。根据递推公式：

D(1)=0，D(2)=1

D(3)=(3-1)×[D(2)+D(1)]=2×[1+0]=2

因此，恰好有2个人坐在自己原来的位置上的排列数为10×2=20。所以概率为20/120=1/6。

例3：错位重排的变形问题

有6本书和6个不同的书架，每个书架只能放一本书。要求每本书都不能放在其对应的书架上，且其中一本书A不能放在书架B上。问有多少种不同的放法？

解析：这个问题是在错位重排的基础上增加了一个额外的限制条件。首先，考虑错位重排的基本情况，n=6。根据递推公式计算D(6)：

D(1)=0，D(2)=1

D(3)=2×[1+0]=2

D(4)=3×[2+1]=9

D(5)=4×[9+2]=44

D(6)=5×[44+9]=265

然后，考虑额外的限制条件：书A不能放在书架B上。我们需要从D(6)中减去那些将书A放在书架B上的情况。将书A放在书架B上后，剩下的5本书需要满足错位重排的条件，即n=5。因此，这种情况下的排列数为D(5)=44。所以，满足条件的放法总数为D(6)-D(5)=265-44=221。

错位重排问题在行测考试中虽然出现频率不高，但掌握其解题方法对于提高排列组合题型的得分率仍然很重要。通过理解错位重排的概念、递推公式以及解题步骤，并结合例题进行练习，考生可以在考试中快速准确地解答这类问题。